Pohybová rovnice auta při známém výkonu

Snažím se vyjádřit zrychlení tělesa, když znám výkon (ideálního) motoru, který ho pohání. Přenos síly motoru na těleso je dokonalý (beze ztrát), těleso nepřekonává žádné odporové síly. Načež přidáváme požadavek, že výkon motoru je konstantní (neměnný v čase). Práce $W$ (work) je definována (pro jednodimenzionální případ) jako: $$ W = \int F \,{\rm d} x $$ což je práce, kterou vykoná síla $F$ při pohybu po dráze (dráha leží v ose $x$). Meze integrace si zjednodušíme okrajovými podmínkami $x(t=0) = 0$ (souřadnice $x$ je na počátku v čase $t = 0$ rovna $0$). Kdybychom předpokládali sílu $F$ konstantní, bude práce $W = Fx$. Podržme si zatím maximalní obecnost. Vývoj dráhy $x$ je závislý na vývoji rychlosti $v$ (velocity) tělesa $$ v = {{\rm d}x \over {\rm d}t} $$ Pro diferenciál dráhy tedy $$ {\rm d}x = v\,{\rm d}t $$ Pro práci potom platí: $$ {\rm d}W = Fv \,{\rm d}t $$ Výkon (power) je definován jako časová změna práce: $$ P = {{\rm d}W \over {\rm d}t} $$ Z předchozích rovnic tedy platí (stále zcela obecně): $$ P = Fv $$ Interpretace: výkon $P$ je způsobován silou $F$, která působí na těleso pohybující se rychlostí $v$. Teď opustíme obecnou platnost a podívame se přímo na náš případ: $P$ bude konstantní, námi zvolený a hledáme působící sílu $F$. Ta je rovna $P/v$ a způsobuje zrychlení $a$ (acceleration) tělesa o hmotnosti $m$ (mass): $$ {P \over v} = ma = m {{\rm d}v \over {\rm d}t} $$ $$ {P \over mv} = {{\rm d}v \over {\rm d}t} $$ $$ \int {P \over m} \,{\rm d}t = \int v \,{\rm d}v $$ Tady zvolíme okrajové podmínky $t_0 = 0$, $v(0) = 0$. $$ {Pt \over m} = {1 \over 2} v^2 $$ $$ v = \sqrt{2Pt \over m} $$ Ke stejnému výsledku lze samozřejmě dojít prostou úvahou, že veškerá vykonaná práce se přemění na kinetickou energii ($ Pt = {1 \over 2}mv^2 $).
Pro mou Octávku (P = 92 kW, m = 1775 kg) tady vychazí čas k dosažení 100 km/h na cca 7,4 s.
Rozšiřme úvahu o odpor vzduchu. Podle Newtonova vzorce je síla, kterou vzduch klade odpor pohybujícímu se tělesu, rovna: $$ F_{\rm odp} = {1 \over 2} C_x \rho S v^2 $$ kde $C_x$ je součinitel aerodynamického odporu, $\rho$ je hustota vzduchu, $S$ je (maximální) čelní plocha tělesa a $v$ je rychlost tělesa. Zavedeme-li označení $$ k = {1 \over 2} C_x \rho S$$ má pohybová rovnice tvar: $$ {P \over v} - kv^2 = m {{\rm d}v \over {\rm d}t} $$ Tato diferenciální rovnice je separovatelná. Chceme-li získat analytické implicitní řešení pro nezávisle proměnný čas, stačí třeba na integrals.com zadat m/(P/x-k*x^2), z čehož se dozvíme "závislost" času $t$ na rychlosti $v$. (Vyjádřit z této rovnosti $v(t)$ se nezdá být úplně triviální.) Po obrácení os vypadá grafické řešení pro funkci $v(t)$ následovně:

[graf: tři oblé křivky, které jsou shora omezené (všechny konvergují ke stejné hodnotě cca 58); čím menší je hmotnost, tím dříve auto dosahuje maximální rychlosti (pro 500 kg už cca po 50 sekundách, 1775 kg po 140 s, 5000 kg po více než 250 s)]

Na ose x roste nezávisle proměnný čas, na ose y pak rychlost $v(t)$, jednotlivé průběhy jsou vyvedeny pro různé hmotnosti m = 500 kg, 1775 kg a 5000 kg a pro neměnné P = 92 kW, k = 0,471 (S = 2,4 m2; Cx = 0,31; ρ = 1,267 kg/m3). Z řešení je vidět, že s časem rostoucím do nekonečna postupně vymizí člen $m {\rm d}v/{\rm d}t$, tj. že zrychlení je nulové. Pro maximální rychlost $v(t \to \infty)$ lze potom psát: $$ {P \over v} = kv^2 $$ $$ v = \sqrt[3]{P \over k} $$ Pro mou Octávku vychází maximálka cca 208 km/h. Zrychlení z nuly na 100 pak z grafu během cca 7,8 s, což se k papírovým 10,4s příliš nepřiblížilo, ale přisuzuju to zpřevodování. (V automatu to má dělat cca 12,6 s.)
Získaný výsledek by mohl svádět k zobecnění, že maximální rychlost vozu naprosto nezávisí na jeho hmotnosti. Uvědomme si ale, že je to dáno zvolenou odporovou silou (pouze odpor vzduchu). Při rozšíření úvahy např. o valivý odpor by se výsledek změnil.

Brzdná dráha

Obecně pro zrychlený/zpomalený pohyb platí: $$ F = ma $$ $$ {F \over m} = a = {{\rm d}v \over {\rm d}t} $$ $$ \int {F \over m} {\rm d}t = \int {\rm d}v $$ $$ v = {{\rm d}x \over {\rm d}t} = {Ft \over m} + v_0 $$ $$ \int {\rm d}x = \int \left( {Ft \over m} + v_0 \right) {\rm d}t $$ $$ x = {Ft^2 \over 2m} + v_0 t + x_0 $$ Působící síla je $$ F = - \mu mg $$ Doba potřebná k zastavení se vypočítá ze vztahu pro rychlost, která se zavolí nulová: $$ 0 = -\mu gt_z + v_0 $$ $$ t_z = {v_0 \over \mu g} $$ Pro brzdnou dráhu pak vypočítáme: $$ x = - {\mu mg t_z^2 \over 2m} + v_0 t_z $$ $$ x = v_0 t_z - {1 \over 2} \mu g t_z^2 $$ $$ x = {v_0^2 \over 2 \mu g} $$ Když dosadíme za $ \mu = 0,55 $ (dle tabulek koeficient pro pneumatiku na suchém asfaltu), vychází cca $x = 0,09\,v_0^2$. Což pro $v_0 = 100 \,{\rm km/h} (= 27,78 \,{\rm m/s})$ dává brzdnou dráhu cca 70 m. (Pro 50 km/h pak něco přes 17 m.)